Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ um.

$4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 u$ heraus.

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Schreibe $- 17$ um als $- 1$ plus $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $4 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.6

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u - 1) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{4}, 4$

Schritt 1.2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 1.2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.2.10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.10.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.10.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.10.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.2.10.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 1.2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.12.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.12.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 1.2.13

Die Lösung von $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ ist $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{2} + 4$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 17 \cdot 0 + 4$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 17$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 4$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 4)$

Schritt 4