Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ um.

$33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$33 u^{2} - u + 121 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.4

Setze die Werte $a = 33$ , $b = - 1$ und $c = 121$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (33 \cdot 121)}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 132$ mit $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $15972$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 15971$ als $- 1 (15971)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15971)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 132$ mit $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $15972$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $- 15971$ als $- 1 (15971)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15971)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 132$ mit $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.1.3

Subtrahiere $15972$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $- 15971$ als $- 1 (15971)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15971)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}, \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$

Schritt 1.2.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ .

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Schritt 1.2.11.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ als $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

Schritt 1.2.11.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ mit $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Schritt 1.2.11.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ mit $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

Schritt 1.2.11.2.3.2

Potenziere $\sqrt{66}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

Schritt 1.2.11.2.3.3

Potenziere $\sqrt{66}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

Schritt 1.2.11.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.11.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

Schritt 1.2.11.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{66}}^{2}$ als $66$ um.

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Schritt 1.2.11.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{66}$ als $66^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.11.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.11.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.11.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.11.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.11.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

Schritt 1.2.11.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

Schritt 1.2.11.2.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Schritt 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$

Schritt 1.2.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ .

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Schritt 1.2.13.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ als $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

Schritt 1.2.13.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ mit $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Schritt 1.2.13.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.13.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ mit $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

Schritt 1.2.13.3.3.2

Potenziere $\sqrt{66}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

Schritt 1.2.13.3.3.3

Potenziere $\sqrt{66}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

Schritt 1.2.13.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.13.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

Schritt 1.2.13.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{66}}^{2}$ als $66$ um.

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Schritt 1.2.13.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{66}$ als $66^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.13.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.13.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.13.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.13.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.13.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

Schritt 1.2.13.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

Schritt 1.2.13.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.2.14

Die Lösung von $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ ist $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 33 \cdot 0^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 33 \cdot 0^{4} - 0^{2} + 121$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 33 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 121$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $33$ mit $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} + 121$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0 + 121$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 121$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 121$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $121$ .

$y = 121$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 121)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 121)$

Schritt 4