Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$ um.

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die Terme um.

$10 x^{3} - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3} - 130 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$10 x (x^{2}) - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $- 130 x$ heraus.

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x (x^{2}) + 10 x (- 13)$ heraus.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 {(x^{2})}^{2} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 11 \cdot 13 = 143$ und deren Summe gleich $b = - 144$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.5.1.1

Faktorisiere $- 144$ aus $- 144 u$ heraus.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.5.1.2

Schreibe $- 144$ um als $- 1$ plus $- 143$

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} + (- 1 - 143) u + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Schritt 1.2.2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$10 x (x^{2} - 13) + u (11 u - 1) - 13 (11 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $11 u - 1$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 u - 1) (u - 13) = 0$

Schritt 1.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Schritt 1.2.2.7

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $10 x (x^{2} - 13)$ heraus.

$(x^{2} - 13) (10 x) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Schritt 1.2.2.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $(11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ heraus.

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.7.3

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} - 13) (10 x + 11 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 13) (10 u + 11 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 11 \cdot - 1 = - 11$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.9.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10 u$ heraus.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 (u) - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.9.2.2

Schreibe $10$ um als $- 1$ plus $11$

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + (- 1 + 11) u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} - 1 u + 11 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} - 13) ((11 u^{2} - 1 u) + 11 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} - 13) (u (11 u - 1) + 1 (11 u - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $11 u - 1$ .

$(x^{2} - 13) ((11 u - 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.10

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 13) ((11 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

$11 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} - 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} - 13$ gleich $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} - 13 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 13$

Schritt 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{13}$

Schritt 1.2.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{13}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{13}$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Schritt 1.2.5

Setze $11 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $11 x - 1$ gleich $0$ .

$11 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $11 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$11 x = 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x = 1$ durch $11$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x = 1$ durch $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{11}$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}, \frac{1}{11}, - 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 11 \cdot 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5.1.6

Mutltipliziere $- 144$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Schritt 2.2.5.1.7

Mutltipliziere $- 130$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 13$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 13$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 13$

Schritt 2.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 13$

Schritt 2.2.5.2.4

Addiere $0$ und $13$ .

$y = 13$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 13)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 13)$

Schritt 4