Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ um.

$3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 1.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Schritt 1.2.2.3

Setze $- 0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $- 0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{1} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.4

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $2$ .

$- 0.\overline{1} + 4 \cdot 0.\overline{1} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{1} + 0.\overline{4} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.6

Addiere $- 0.\overline{1}$ und $0.\overline{4}$ .

$0.\overline{3} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 1.\overline{3} + 1$

Schritt 1.2.2.3.8

Subtrahiere $1.\overline{3}$ von $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 1$

Schritt 1.2.2.3.9

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 1.2.2.4

Da $- 0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 1}$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ durch $3 x + 1$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$1$

Schritt 1.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Schritt 1.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 1.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 1.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Schritt 1.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Schritt 1.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Schritt 1.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Schritt 1.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Schritt 1.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x + 1$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Schritt 1.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$
										$0$

Schritt 1.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x + 1$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 (0) + 1$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 1$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 1$

Schritt 2.2.4.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4