Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{(x - 5) (x + 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 5) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 3, 5}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 5) \cup (5, \infty), {x | x \neq - 3, 5}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6