Elementarmathematik Beispiele

$r (x) = \frac{4 x^{2} + 4}{x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{4 x^{2} + 4}{x^{2} + 6 x + 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} + 6 x + 3^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 3}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\frac{2}{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq \frac{2}{5}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty), {x | x \neq - 3}$

Wertebereich: $[\frac{2}{5}, \infty), {y | y \geq \frac{2}{5}}$

Schritt 6