Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Schritt 2.2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Schritt 2.2.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 8 \cdot 1 + 19 \cdot - 1 + 12$

Schritt 2.2.1.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- 1 + 8 + 19 \cdot - 1 + 12$

Schritt 2.2.1.3.5

Addiere $- 1$ und $8$ .

$7 + 19 \cdot - 1 + 12$

Schritt 2.2.1.3.6

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$7 - 19 + 12$

Schritt 2.2.1.3.7

Subtrahiere $19$ von $7$ .

$- 12 + 12$

Schritt 2.2.1.3.8

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 2.2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}{x + 1}$

Schritt 2.2.1.5

Dividiere $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$19 x$

$12$

Schritt 2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Schritt 2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Schritt 2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Schritt 2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{2} + 7 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$

Schritt 2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x + 12$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Schritt 2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 7 x + 12$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} + 7 x + 12) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 3, - 4$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$x > - 1$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{3} + 8 {(- 6)}^{2} + 19 (- 6) + 12 \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 30$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3.5$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3.5)}^{3} + 8 {(- 3.5)}^{2} + 19 (- 3.5) + 12 \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $0.625$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 19 (- 2) + 12 \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.4.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 19 (0) + 12 \geq 0$

Schritt 2.9.4.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 1$ Falsch

$x > - 1$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 1$ Falsch

$x > - 1$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq - 3$ oder $x \geq - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4, - 3] \cup [- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \leq x \leq - 3, x \geq - 1}$

Schritt 4