Elementarmathematik Beispiele

$y = \log_{3} (3 x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{3} (3 y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{3} (3 y) = x$ um.

$\log_{3} (3 y) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{3} (3 y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 y$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $3 y = 3^{x}$ um.

$3 y = 3^{x}$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 3^{x}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 3^{x}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{x}$ und $3$ .

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Schritt 2.3.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{x}$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3}$

Schritt 2.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 (1)}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3^{x - 1}}{1}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.4

Dividiere $3^{x - 1}$ durch $1$ .

$y = 3^{x - 1}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{3} (3 x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{3} (3 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{(\log_{3} (3 x)) - 1}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{\log_{3} (3 x) - 1}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (3^{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3 (3^{x - 1}))$

Schritt 4.3.3

Schreibe $\log_{3} (3 (3^{x - 1}))$ als $\log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$ um.

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$

Schritt 4.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \log_{3} (3)$

Schritt 4.3.5

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + x - 1$

Schritt 4.3.7

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Schritt 4.3.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 4.3.8.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (3^{x - 1}) = x + 0$

Schritt 4.3.8.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (3^{x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{3} (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$