Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2) (x + 3)}{(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{(2 x^{2} - 2) (x + 3)}{(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.2

Setze $x^{2} - 6 x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x^{2} - 6 x + 8$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Schritt 2.2.2

Löse $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.2.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2, - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 3, 4}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 7 - 3 \sqrt{5}] \cup [- 7 + 3 \sqrt{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 7 - 3 \sqrt{5}, y \geq - 7 + 3 \sqrt{5}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq 2, - 3, 4}$

Wertebereich: $(- \infty, - 7 - 3 \sqrt{5}] \cup [- 7 + 3 \sqrt{5}, \infty), {y | y \leq - 7 - 3 \sqrt{5}, y \geq - 7 + 3 \sqrt{5}}$

Schritt 6