Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x + 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.5.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Schritt 6