Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(3 y - 1) (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - x = 2 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - x - 2 y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 2 y = x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y x - 2 y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y x$ heraus.

$y (3 x) - 2 y = x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (3 x) + y \cdot - 2$ heraus.

$y (3 x - 2) = x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 2) = x$ durch $3 x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 2) = x$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x - 2 (3 x - 1)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (3 x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $\frac{3 x - 1}{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{3 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Addiere $0$ und $2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$