Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{y + 7}}{4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$ um.

$\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{y + 7} = 4 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 7}$ als ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 7)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y + 7 = {(4 x)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(4 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$y + 7 = 4^{2} x^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y + 7 = 16 x^{2}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 16 x^{2} - 7$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 {(\frac{\sqrt{x + 7}}{4})}^{2} - 7$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{\sqrt{x + 7}}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ als $x + 7$ um.

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Schritt 5.2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 7 - 7$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (16 x^{2} - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{(16 x^{2} - 7) + 7}}{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2} + 0}}{4}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $16 x^{2}$ und $0$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2}}}{4}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{{(4 x)}^{2}}}{4}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (16 x^{2} - 7) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$