Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ als Gleichung.

$y = \frac{7}{4 x + 12}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7}{4 y + 12}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7}{4 y + 12} = x$ um.

$\frac{7}{4 y + 12} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 y + 12$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{7}{4 (y) + 12} = x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{7}{4 y + 4 \cdot 3} = x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y + 4 \cdot 3$ heraus.

$\frac{7}{4 (y + 3)} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 (y + 3), 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 (y + 3)$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{7}{4 (y + 3)} = x$ mit $4 (y + 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7}{4 (y + 3)} = x$ mit $4 (y + 3)$ .

$\frac{7}{4 (y + 3)} (4 (y + 3)) = x (4 (y + 3))$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{7}{4 (y + 3)} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{7}{4 (y + 3)} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Schritt 3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{y + 3} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{y + 3} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$7 = x (4 (y + 3))$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 = 4 x (y + 3)$

Schritt 3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 = 4 x y + 4 x \cdot 3$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$7 = 4 x y + 12 x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x y + 12 x = 7$ um.

$4 x y + 12 x = 7$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y = 7 - 12 x$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x y = 7 - 12 x$ durch $4 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x y = 7 - 12 x$ durch $4 x$ .

$\frac{4 x y}{4 x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x y}{4 x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 x}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 (x)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 x}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 3 x}{x}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 3 x}{x}$

Schritt 3.5.3.3.1.2.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{4 x} - 3$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x + 12})} - 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 12$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 (x) + 12})} - 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x + 4 \cdot 3})} - 3$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 (x + 3)})} - 3$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{4 (x + 3)}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{28}{4 (x + 3)}} - 3$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{28}{4 (x + 3)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{7}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.2.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Schritt 5.2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7}{4 x} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 12}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 12$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 4 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 4 \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3 + 3)}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} + 0)}$

Schritt 5.3.3.3

Addiere $\frac{7}{4 x}$ und $0$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x})}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{4 x}$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{28}{4 x}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{28}{4 x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Schritt 5.3.4.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x)}}$

Schritt 5.3.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Schritt 5.3.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$