Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y + 5}{3 y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{6 y + 5}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(3 y - 1) (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 1 x = (\frac{6 y + 5}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 y x - x = (\frac{6 y + 5}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - x = \frac{6 y + 5}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - x = 6 y + 5$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - x - 6 y = 5$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 6 y = 5 + x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y x - 6 y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y x$ heraus.

$3 y (x) - 6 y = 5 + x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 6 y$ heraus.

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 + x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (x) + 3 y (- 2)$ heraus.

$3 y (x - 2) = 5 + x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y (x - 2) = 5 + x$ durch $3 (x - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y (x - 2) = 5 + x$ durch $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{5}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)} + \frac{\frac{6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{5 + \frac{6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.4

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{5 (3 x - 1)}{3 x - 1} + \frac{6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{5 (3 x - 1) + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{5 (3 x) + 5 \cdot - 1 + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{15 x + 5 \cdot - 1 + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{15 x - 5 + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.6.4

Addiere $15 x$ und $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{21 x - 5 + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.6.5

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{21 x + 0}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.6.6

Addiere $21 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{21 x}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{21 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.8.1.1

Faktorisiere $3$ aus $21 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 (7 x)}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Schritt 5.2.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 (7 x)}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Schritt 5.2.8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2}$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $\frac{7 x}{3 x - 1}$ mit $\frac{1}{\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.9.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.4

Schreibe $\frac{6 x + 5 - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 6 x - 2 \cdot - 1}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 6 x + 2}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.4.4

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{0 + 5 + 2}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.4.5

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{5 + 2}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.9.4.6

Addiere $5$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{7}{3 x - 1})}$

Schritt 5.2.10

Faktorisiere $\frac{7}{3 x - 1}$ aus $\frac{7 x}{(3 x - 1) \frac{7}{3 x - 1}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1}{7} \cdot \frac{7 x}{3 x - 1}$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 5.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1}{7} \cdot \frac{7 x}{3 x - 1}$

Schritt 5.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Schritt 5.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.12.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{1}{7} \cdot (7 (x))$

Schritt 5.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Schritt 5.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{3 (2) (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{3 \cdot (2 (\frac{5}{3 (x - 2)})) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{2 (\frac{5}{x - 2}) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 \cdot 5}{x - 2} + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 3 (2) (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 3 \cdot (2 (\frac{x}{3 (x - 2)})) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 2 (\frac{x}{x - 2}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 + 2 x}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.8

Stelle $10$ und $2 x$ um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 x + 10}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.9

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 10$ heraus.

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Schritt 5.3.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x) + 10}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.9.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 5$ heraus.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x + 5)}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.10

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x + 5)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x + 5) + 5 (x - 2)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.12

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 (x - 2) + 2 (x + 5)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13

Schreibe $\frac{5 (x - 2) + 2 (x + 5)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x + 5 \cdot - 2 + 2 (x + 5)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x - 10 + 2 (x + 5)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x - 10 + 2 x + 2 \cdot 5}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x - 10 + 2 x + 10}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13.5

Addiere $5 x$ und $2 x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x - 10 + 10}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13.6

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x + 0}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.3.13.7

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2} + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2} + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Schritt 5.3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2} + \frac{x}{x - 2} - 1}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5 + x}{x - 2} - 1}$

Schritt 5.3.4.5

Stelle $5$ und $x$ um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} - 1}$

Schritt 5.3.4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5 - (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.9

Schreibe $\frac{x + 5 - (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5 - x + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5 - x + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.9.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{0 + 5 + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.9.4

Addiere $0$ und $5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5 + 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.9.5

Addiere $5$ und $2$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{7}{x - 2}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$