Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y + 4}{4 y + 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$ um.

$\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $6 y + 4$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{2 (3 y) + 4}{4 y + 5} = x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (3 y) + 2 (2)}{4 y + 5} = x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 y + 5, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$4 y + 5, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 y + 5$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ mit $4 y + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ mit $4 y + 5$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y + 5$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (3 y + 2) = x (4 y + 5)$

Schritt 3.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 y) + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Schritt 3.4.2.3

Multipliziere.

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Schritt 3.4.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Schritt 3.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 y + 4 = x (4 y + 5)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y + 4 = x (4 y) + x \cdot 5$

Schritt 3.4.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.4.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 y + 4 = 4 x y + x \cdot 5$

Schritt 3.4.3.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 y + 4 = 4 x y + 5 x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $4 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y + 4 - 4 x y = 5 x$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y - 4 x y = 5 x - 4$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2 y$ aus $6 y - 4 x y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $6 y$ heraus.

$2 y (3) - 4 x y = 5 x - 4$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 4 x y$ heraus.

$2 y (3) + 2 y (- 2 x) = 5 x - 4$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (3) + 2 y (- 2 x)$ heraus.

$2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ durch $2 (3 - 2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ durch $2 (3 - 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - 2 x$ .

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Schritt 3.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 2}{3 - 2 x}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x}$

Schritt 3.5.4.3.2

Um $- \frac{2}{3 - 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (3 - 2 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3 - 2 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{(3 - 2 x) \cdot 2}$

Schritt 3.5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(3 - 2 x) \cdot 2$ um.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x - 2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 3.5.4.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $5 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{5 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4 \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} + \frac{- 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (3 x + 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 (4 x + 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2) - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x) + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.8

Subtrahiere $8 x$ von $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 10 - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.9

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 0)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.10

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 \cdot (7 x)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.4.5.11

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Multipliziere $- 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 2 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - \frac{(4) (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5)}{4 x + 5} - \frac{4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5

Schreibe $\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 8}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.7

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{0 + 15 - 8}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.8

Addiere $0$ und $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{15 - 8}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.5.5.9

Subtrahiere $8$ von $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{7}{4 x + 5})}$

Schritt 5.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{2 \cdot 7}{4 x + 5}}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{14}{4 x + 5}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 (x)}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x + 5$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{6 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)} + 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ heraus.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 2 (2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2 (2)$ heraus.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2 \cdot \frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x) + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 \cdot 3 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 - 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 \cdot 6 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 - 8 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.10

Subtrahiere $8 x$ von $15 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x - 12 + 12}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.11

Addiere $- 12$ und $12$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x + 0}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.3.6.12

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (2) (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Schritt 5.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 \cdot (2 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 5}$

Schritt 5.3.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}) + 5}$

Schritt 5.3.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + 5}$

Schritt 5.3.4.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + \frac{5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x) + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 \cdot 3 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 - 10 x}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.7

Subtrahiere $10 x$ von $10 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{0 - 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.8

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{- 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.9

Addiere $- 8$ und $15$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{7 x}{3 - 2 x}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Schritt 5.3.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.9.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 (x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Schritt 5.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Schritt 5.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - 2 x$ .

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Schritt 5.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Schritt 5.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$