Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5 x - 6}{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{5 x - 6}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{5 x - 6}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{5 y - 6}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 y - 6}{7} = x$ um.

$\frac{5 y - 6}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{5 y - 6}{7} \cdot 7 = x \cdot 7$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y - 6}{7} \cdot 7 = x \cdot 7$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 y - 6 = x \cdot 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 y - 6 = 7 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = 7 x + 6$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 7 x + 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 7 x + 6$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{5 x - 6}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x - 6}{7})}{5} + \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x - 6}{7}) + 6}{5}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x - 6}{7}) + 6}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{5 x - 6 + 6}{5}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x - 6}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) - 6}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5}) + 5 (\frac{6}{5}) - 6}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5}) + 5 (\frac{6}{5}) - 6}{7}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{7 x + 5 (\frac{6}{5}) - 6}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{7 x + 5 (\frac{6}{5}) - 6}{7}$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{7 x + 6 - 6}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{5 x - 6}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{6}{5}$