Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$ um.

$\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y \sqrt{y}) = \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y \sqrt{y}$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \sqrt{y} = \frac{8}{3} x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $x$ .

$y \sqrt{y} = \frac{8 x}{3}$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(y \sqrt{y})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

${(y^{1} y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

${(y^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(\frac{8 x}{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8 x}{3}$ an.

$y^{3} = \frac{{(8 x)}^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$y^{3} = \frac{8^{2} x^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.5.3.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{9}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ als $\frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.2.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{4^{3} x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 3.6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 3.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 3.6.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 3.6.2.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{9}$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 3.6.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.6.2.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Schritt 3.6.2.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ als $9$ um.

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Schritt 3.6.2.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.6.2.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.6.2.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.6.2.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.6.2.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Schritt 3.6.2.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Schritt 3.6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ als $\sqrt[3]{9^{2}}$ um.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Schritt 3.6.2.5.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{81}}{9}$

Schritt 3.6.2.5.3

Schreibe $81$ als $3^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.5.3.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Schritt 3.6.2.5.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Schritt 3.6.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Schritt 3.6.2.5.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.2.5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = \frac{12 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3}}{9}$

Schritt 3.6.2.5.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{9}$

Schritt 3.6.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 3.6.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ heraus.

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{9}$

Schritt 3.6.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 (3)}$

Schritt 3.6.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 {(\frac{3 x \sqrt{x}}{8})}^{2}}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ an.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x \sqrt{x})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende die Produktregel auf $3 x \sqrt{x}$ an.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{3^{2} x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.2.5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 (x \cdot x^{2})}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{1 + 2}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.2.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{8^{2}})}}{3}$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{64})}}{3}$

Schritt 5.2.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{9 x^{3}}{64}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3})}{64}}}{3}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{27 x^{3}}{64}}}{3}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{64}}}{3}$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}}}{3}$

Schritt 5.2.3.8

Schreibe $\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}$ als ${(\frac{3 x}{4})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{{(\frac{3 x}{4})}^{3}}}{3}$

Schritt 5.2.3.9

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 (\frac{3 x}{4})}{3}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{12 x}{4}}{3}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{12 x}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 (1)}}{3}$

Schritt 5.2.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 \cdot 1}}{3}$

Schritt 5.2.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{3 x}{1}}{3}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{3 (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3} \cdot \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}$ und $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}} \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ als ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.2.2

Schreibe ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ als ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.2.3

Schreibe ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}}$ um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.2.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ als ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.2.5

Schreibe ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ als ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}})}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.2.6

Schreibe ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}}$ um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}})}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3} {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.5

Wende die Produktregel auf $3 x^{2}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.6.1

Kombiniere $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}}$ und $3^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}} \cdot {(x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.6.2

Kombiniere $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}}$ und ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{2}$ und $3^{3}$ .

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Schritt 5.3.4.7.1

Faktorisiere $3^{2}$ aus ${(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2} {(x^{2})}^{2}$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.7.2.1

Faktorisiere $3^{2}$ aus $3^{3}$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.8.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{4^{3} {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.3

Schreibe ${\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3}$ als $3 x^{2}$ um.

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Schritt 5.3.4.8.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ als ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {({(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.8.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.3.5

Vereinfache.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.8.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{2 \cdot 2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 \cdot (3 x^{2} x^{4})}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.8.5.1

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{2} x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.5.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.8.5.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 (x^{4} x^{2})}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{4 + 2}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.8.5.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{6}}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $192$ und $3$ .

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Schritt 5.3.4.9.1

Faktorisiere $3$ aus $192 x^{6}$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 (1)}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 \cdot 1}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 x^{6}}{1}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.4.9.2.4

Dividiere $64 x^{6}$ durch $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{64 x^{6}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe $64 x^{6}$ als ${(2 x)}^{6}$ um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(2 x)}^{6}}}{3}}{8}$

Schritt 5.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \cdot (2 x)}{3}}{8}$

Schritt 5.3.5.3

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{24 x}{3}}{8}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{24 x}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $24 x$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3}}{8}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 (1)}}{8}$

Schritt 5.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 \cdot 1}}{8}$

Schritt 5.3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $8 x$ durch $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$