Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 1}{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 1}{y} = x$ um.

$\frac{y - 1}{y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 1}{y} = x$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 1}{y} = x$ mit $y$ .

$\frac{y - 1}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 1 - x y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - x y = 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - x y = 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- x) = 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$y (1 - x) = 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 1$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 1$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x}{x} - \frac{x - 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x}}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\frac{x - (x - 1)}{x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{0 + 1}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = 1 x$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{1}{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{(\frac{1}{1 - x}) - 1}{\frac{1}{1 - x}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} - 1) (1 - x)$

Schritt 5.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (1 - x)$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}) (1 - x)$

Schritt 5.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - (1 - x)}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 \cdot 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + 1 x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{0 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.6.5

Addiere $0$ und $x$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{1 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$