Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x + 7}{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ als Gleichung.

$y = \frac{x + 7}{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 7}{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y + 7}{y} = x$ um.

$\frac{y + 7}{y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 7}{y} = x$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 7}{y} = x$ mit $y$ .

$\frac{y + 7}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 7}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 7 = x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 7 - x y = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - x y = - 7$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - x y = - 7$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- x) = - 7$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$y (1 - x) = - 7$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = - 7$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = - 7$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7}{1 - x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 7}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{1 - (\frac{x + 7}{x})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x}{x} - \frac{x + 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - (x + 7)}{x}}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\frac{x - (x + 7)}{x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - x - 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{0 - 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.3.4

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{- 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{- \frac{7}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (- \frac{x}{7}))$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{7}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (\frac{- x}{7}))$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (\frac{- x}{7}))$

Schritt 5.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{7}{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{(- \frac{7}{1 - x}) + 7}{- \frac{7}{1 - x}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = (- \frac{7}{1 - x} + 7) (- \frac{1 - x}{7})$

Schritt 5.3.4

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = (- \frac{7}{1 - x} + \frac{7 (1 - x)}{1 - x}) (- \frac{1 - x}{7})$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x} \cdot (- \frac{1 - x}{7})$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Schritt 5.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x}$ in den Zähler.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- (- 7 + 7 (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Schritt 5.3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- (- 7 + 7 (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Schritt 5.3.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 (1 - x)) \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 \cdot 1 + 7 (- x)) \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 + 7 (- x)) \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 - 7 x) \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (0 - 7 x) \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.7.2

Subtrahiere $7 x$ von $0$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 x \frac{1}{7}$

Schritt 5.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.7.3.1

Faktorisiere $7$ aus $- (- 7 x)$ heraus.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 (x) (\frac{1}{7})$

Schritt 5.3.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 (x) (\frac{1}{7})$

Schritt 5.3.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = x$

Schritt 5.3.7.4

Multipliziere.

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Schritt 5.3.7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 1 x$

Schritt 5.3.7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$