Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 1 - \frac{3}{4} x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 1 - \frac{3}{4} x$ als Gleichung.

$y = - 1 - \frac{3}{4} x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 1 - \frac{3}{4} y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 - \frac{3}{4} y = x$ um.

$- 1 - \frac{3}{4} y = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{3}{4}$ .

$- 1 - \frac{y \cdot 3}{4} = x$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 1 - \frac{3 y}{4} = x$

Schritt 3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y}{4} = x + 1$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (x + 1)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (x + 1)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 1$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 1 - \frac{3}{4} x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = - \frac{4 (- 1 - \frac{3}{4} x)}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{- 4 (- 1 - \frac{3}{4} x) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{- 4 (- 1 - \frac{x \cdot 3}{4}) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{- 4 (- 1 - \frac{3 x}{4}) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{- 4 \cdot - 1 - 4 (- \frac{3 x}{4}) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{4 - 4 (- \frac{3 x}{4}) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{4}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{4 - 4 \frac{- 3 x}{4} - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{4 + 4 (- 1) (\frac{- 3 x}{4}) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{4 + 4 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{4}) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{4 - 1 (- 3 x) - 4}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{4 + 3 x - 4}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 + 3 x - 4$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 1 - \frac{3}{4} x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x) - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 - 1 (- x) - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + 1 x - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4}{3})$

Schritt 5.3.3.6.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.3.6.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{- 1}{4} \cdot - 4$

Schritt 5.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Schritt 5.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = - 1 + x + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + x + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 1 - \frac{3}{4} x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3}$