Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 1}{2 y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ um.

$\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y + 1, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$2 y + 1, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y + 1$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ mit $2 y + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ mit $2 y + 1$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 = x (2 y + 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = x (2 y) + x \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y + 1 = 2 x y + x \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y + 1 = 2 x y + x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 1 - 2 x y = x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 2 x y = x - 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y - 2 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - 2 x y = x - 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x - 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ heraus.

$y (1 - 2 x) = x - 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - 2 x) = x - 1$ durch $1 - 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - 2 x) = x - 1$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(\frac{x + 1}{2 x + 1}) - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 x + 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$ mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1)}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.4

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 1 - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 0}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.6

Addiere $- x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ heraus.

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Schritt 5.2.7.1.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $(2 x + 1) \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.1.2

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 + \frac{- 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - \frac{(2) (x + 1)}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6

Schreibe $\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{0 + 1 - 2}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{1 - 2}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{- 1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot (- 1 \frac{1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{- (2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.8

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x}{(2 x + 1) (\frac{1}{2 x + 1})}$

Schritt 5.2.9

Faktorisiere $\frac{1}{2 x + 1}$ aus $\frac{x}{(2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 5.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Schritt 5.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x - 1}{1 - 2 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - 2 x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}$ mit $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \cdot \frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1)}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $1 - 2 x$ mit $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + 1 - 2 x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x - 1 + 1}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x + 0}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6.4

Addiere $- x$ und $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $1 - 2 x$ aus $(1 - 2 x) \cdot 2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + (1 - 2 x) \cdot 1$ heraus.

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Schritt 5.3.7.1.1

Faktorisiere $1 - 2 x$ aus $(1 - 2 x) \cdot 1$ heraus.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) (1)}$

Schritt 5.3.7.1.2

Faktorisiere $1 - 2 x$ aus $(1 - 2 x) (2 \frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) (1)$ heraus.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Schritt 5.3.7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x - 1}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + 1)}$

Schritt 5.3.7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Schritt 5.3.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1) + 1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Schritt 5.3.7.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.6

Schreibe $\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.6.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{0 - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.6.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.6.5

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (- 1 \frac{1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.7.8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{- (1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$

Schritt 5.3.8

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x}{(1 - 2 x) (\frac{1}{- 2 x + 1})}$

Schritt 5.3.9

Faktorisiere $\frac{1}{- 2 x + 1}$ aus $\frac{x}{(1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$ heraus.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = (- 2 x + 1) (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 5.3.10

Mutltipliziere $- 2 x + 1$ mit $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{1 - 2 x}$

Schritt 5.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + 1$ und $1 - 2 x$ .

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Schritt 5.3.11.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Schritt 5.3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Schritt 5.3.11.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$