Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 3}{y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y + 3}{y - 5}) (y - 5)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 5 x = (\frac{y + 3}{y - 5}) (y - 5)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - 5 x = \frac{y + 3}{y - 5} (y - 5)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - 5 x = y + 3$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 5 x - y = 3$

Schritt 3.4.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = 3 + 5 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = 3 + 5 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 5 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 3 + 5 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 3 + 5 x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 3 + 5 x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5})}{(\frac{x + 3}{x - 5}) - 1}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 + 5 \frac{x + 3}{x - 5}}{\frac{x + 3}{x - 5} - 1}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x - 5}{x - 5} \cdot \frac{3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5})}{\frac{x + 3}{x - 5} - 1}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5} - 1)}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5}) + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5}) + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) \cdot 5 \frac{x + 3}{x - 5}$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) \cdot 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3) + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) (3) + (x - 5) (5 \frac{x + 3}{x - 5})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{x + 3}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + \frac{5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{3 (x - 5)}{x - 5} + \frac{5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{3 (x - 5) + 5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 (x + 3) + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6

Schreibe $\frac{5 (x + 3) + 3 (x - 5)}{x - 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 5 \cdot 3 + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 x + 3 \cdot - 5}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 x - 15}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6.5

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x + 15 - 15}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6.6

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x + 0}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.6.7

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 5 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - 1 \cdot x - 5 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - 1 \cdot x + 5}$

Schritt 5.2.7.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - x + 5}$

Schritt 5.2.7.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{0 + 3 + 5}$

Schritt 5.2.7.6

Addiere $0$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{3 + 5}$

Schritt 5.2.7.7

Addiere $3$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{8}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $\frac{8 x}{x - 5}$ aus $\frac{(x - 5) \frac{8 x}{x - 5}}{8}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.8.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Schritt 5.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Schritt 5.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Schritt 5.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 5.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Schritt 5.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 + 5 x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 5 x}{x - 1}) - 5}$

Schritt 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5}$

Schritt 5.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.6.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{5 x + 3 x + 0}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.6.5

Addiere $5 x + 3 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{5 x + 3 x}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.6.6

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x + x \cdot - 5 - 1 \cdot - 5}$

Schritt 5.3.7.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x - 5 \cdot x - 1 \cdot - 5}$

Schritt 5.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x - 5 \cdot x + 5}$

Schritt 5.3.7.4

Addiere $3$ und $5$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{5 x - 5 x + 8}$

Schritt 5.3.7.5

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{0 + 8}$

Schritt 5.3.7.6

Addiere $0$ und $8$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$