Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$ als Gleichung.

$y = \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 5}{y + 10}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y + 5}{y + 10} = x$ um.

$\frac{y + 5}{y + 10} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 10, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 10, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 10$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 5}{y + 10} = x$ mit $y + 10$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 5}{y + 10} = x$ mit $y + 10$ .

$\frac{y + 5}{y + 10} (y + 10) = x (y + 10)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 10$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 5}{y + 10} (y + 10) = x (y + 10)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 5 = x (y + 10)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 = x y + x \cdot 10$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 5 = x y + 10 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 5 - x y = 10 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - x y = 10 x - 5$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - x y = 10 x - 5$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- x) = 10 x - 5$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$y (1 - x) = 10 x - 5$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 10 x - 5$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 10 x - 5$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{10 x}{1 - x} + \frac{- 5}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{10 x}{1 - x} + \frac{- 5}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{10 x}{1 - x} + \frac{- 5}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{10 x - 5}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Faktorisiere $5$ aus $10 x - 5$ heraus.

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Schritt 3.4.4.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$y = \frac{5 (2 x) - 5}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{5 (2 x) + 5 (- 1)}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 x) + 5 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (2 (\frac{x + 5}{x + 10}) - 1)}{1 - (\frac{x + 5}{x + 10})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 5}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5)}{x + 10} - 1)}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5)}{x + 10} - 1 \cdot \frac{x + 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5)}{x + 10} + \frac{- (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5) - (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe $\frac{2 (x + 5) - (x + 10)}{x + 10}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 2 \cdot 5 - (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 10 - (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 10 - x - 1 \cdot 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 10 - x - 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5.5

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x + 10 - 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5.6

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x + 0}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.3.5.7

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10}{x + 10} - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10 - (x + 5)}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $\frac{x + 10 - (x + 5)}{x + 10}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10 - x - 1 \cdot 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10 - x - 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{0 + 10 - 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4.3.4

Addiere $0$ und $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{10 - 5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.4.3.5

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $5$ und $\frac{x}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{\frac{5 x}{x + 10}}{\frac{5}{x + 10}}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 x}{x + 10} \cdot \frac{x + 10}{5}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (x)}{x + 10} \cdot \frac{x + 10}{5}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 x}{x + 10} \cdot \frac{x + 10}{5}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{x}{x + 10} \cdot (x + 10)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{x}{x + 10} \cdot (x + 10)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 5}{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 5$ und $(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ heraus.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 5}{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 5 \cdot 1}{\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x} + 10}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{2 x - 1}{1 - x} + 5 (1)$ heraus.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ heraus.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 10}$

Schritt 5.3.3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 5 \cdot 2}$

Schritt 5.3.3.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{2 x - 1}{1 - x} + 5 \cdot 2$ heraus.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1}{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1}{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2}$ mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1}{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4.2

Kombinieren.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2)}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 1}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + 1 - x}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x - 1 + 1}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x + 0}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.7.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + 1 \cdot 2 - x \cdot 2}$

Schritt 5.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + 2 - x \cdot 2}$

Schritt 5.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + 2 - 2 x}$

Schritt 5.3.8.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{0 - 1 + 2}$

Schritt 5.3.8.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{- 1 + 2}$

Schritt 5.3.8.6

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{1}$

Schritt 5.3.9

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$