Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ um.

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - y}$ als ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Vereinfache.

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5

Stelle um.

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Schritt 3.4.2.1.5.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ durch $- x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot - 8$ als $- - 8$ um.

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ an.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ als $8 - x$ um.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - x}$ als ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Schritt 5.2.3.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 + x + 8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $4$ aus $- 36 + 8 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ heraus.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.4

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ heraus.

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Schritt 5.3.3.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ heraus.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ heraus.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.6.6

Addiere $0$ und $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.3.9

Schreibe $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{6}{x})}^{2}$ um.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Schritt 5.3.3.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$