Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ als Gleichung.

$y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{\frac{1}{3}} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$ um.

$y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{3}} - x = - 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{3}} = - 1 + x$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(- 1 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(- 1 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(- 1 + x)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 1 + 3 \cdot 1 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = - 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache $- 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 3.5.1

Bewege $- 1$ .

$y = 3 x - 3 x^{2} + x^{3} - 1$

Schritt 3.5.2

Bewege $3 x$ .

$y = - 3 x^{2} + x^{3} + 3 x - 1$

Schritt 3.5.3

Stelle $- 3 x^{2}$ und $x^{3}$ um.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 1) + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5.1.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.5.2

Addiere $x^{\frac{1}{3}}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $3 x^{\frac{2}{3}}$ von $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Schritt 5.2.4.1.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 1$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$

Schritt 5.2.4.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $6 x^{\frac{1}{3}}$ von $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ und $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = {(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 1$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$