Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{2 y + 1} = x$ um.

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y + 1, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$2 y + 1, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y + 1$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y}{2 y + 1} = x$ mit $2 y + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y}{2 y + 1} = x$ mit $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x (2 y + 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = 2 x y + x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 2 x y = x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y - 2 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ heraus.

$y (1 - 2 x) = x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - 2 x) = x$ durch $1 - 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - 2 x) = x$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4.6

Schreibe $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.6.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.4.6.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $1 (2 x + 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Schritt 5.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $- 2 x + 1$ mit $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{1 - 2 x}$ mit $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + 1$ und $1 - 2 x$ .

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Schritt 5.3.8.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Schritt 5.3.8.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$