Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ als Gleichung.

$y = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{3 y - 1} + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$ um.

$\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 y - 1} = x - 5$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 y - 1}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 y - 1}$ als ${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 y - 1)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$3 y - 1 = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 5)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$3 y - 1 = (x - 5) (x - 5)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y - 1 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{2} - 10 x + 25 + 1$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $25$ und $1$ .

$3 y = x^{2} - 10 x + 26$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}}{3} - \frac{10 (\sqrt{3 x - 1} + 5)}{3} + \frac{26}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe ${(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}$ als $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Multipliziere $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{3 x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3 x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 x - 1}}^{2}$ als $3 x - 1$ um.

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Schritt 5.2.4.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 1}$ als ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(3 x - 1) + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 25 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $- 1$ und $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.3.3

Addiere $5 \sqrt{3 x - 1}$ und $5 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \cdot 5 + 26}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $10 \sqrt{3 x - 1}$ von $10 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 0 - 50 + 26}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 x + 24$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 - 50 + 26}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $50$ von $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 26 + 26}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 26 + 26$ .

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Schritt 5.2.5.3.1

Addiere $- 26$ und $26$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10 x}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 26 - 1} + 5$

Schritt 5.3.3.3

Subtrahiere $1$ von $26$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 5$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 5$

Schritt 5.3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 5.3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 5$

Schritt 5.3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 5$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$