Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{6 x - 3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{6 x - 3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{6 y - 3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{6 y - 3} = x$ um.

$\sqrt{6 y - 3} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 y - 3}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 y - 3}$ als ${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 y - 3)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$6 y - 3 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = x^{2} + 3$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x^{2} + 3$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x^{2} + 3$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 3})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x - 3$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 3}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}$ als $3 (2 x - 1)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (2 x - 1)}$ als ${(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{({(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.6

Faktorisiere $3$ aus $6 x - 3$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3$ aus $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.7.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Schritt 5.3.7.2

Addiere $\frac{x^{2}}{3}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Schritt 5.3.8

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 x^{2}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.3.9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$