Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \log_{3} (x) - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ als Gleichung.

$y = \log_{3} (x) - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{3} (y) - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{3} (y) - 1 = x$ um.

$\log_{3} (y) - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{3} (y) = x + 1$

Schritt 3.3

Schreibe $\log_{3} (y) = x + 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{x + 1} = y$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $y = 3^{x + 1}$ um.

$y = 3^{x + 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{(\log_{3} (x) - 1) + 1}$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\log_{3} (x) - 1) + 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{\log_{3} (x) + 0}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\log_{3} (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{\log_{3} (x)}$

Schritt 5.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (3^{x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{x + 1}) = \log_{3} (3^{x + 1}) - 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (3^{x + 1}) = (x + 1) \log_{3} (3) - 1$

Schritt 5.3.3.2

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f (3^{x + 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (3^{x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (3^{x + 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$