Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{1 - y^{2}} = x$ um.

$\sqrt{1 - y^{2}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - y^{2}}$ als ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$1 - y^{2} = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = x^{2} - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = x^{2} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 1$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- x^{2} + 1}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, 1]$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 5.3.2.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.3.2.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 5.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 5.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 5.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.3.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 5.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, 1]$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6