Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = e^{x - 5} - 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{x - 5} - 5$ als Gleichung.

$y = e^{x - 5} - 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{y - 5} - 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{y - 5} - 5 = x$ um.

$e^{y - 5} - 5 = x$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y - 5} = x + 5$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x + 5)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{y - 5})$ durch Herausziehen von $y - 5$ aus dem Logarithmus.

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x + 5)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $y - 5$ mit $1$ .

$y - 5 = \ln (x + 5)$

Schritt 3.5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (x + 5) + 5$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{x - 5} - 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{x - 5} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5} + 0) + 5$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $e^{x - 5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 5$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \ln (e) + 5$

Schritt 5.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (x + 5) + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5) + 0} - 5$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\ln (x + 5)$ und $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5)} - 5$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 5 - 5$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$