Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 2 x + 12 x - 9$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 2 x + 12 x - 9$ als Gleichung.

$y = - 2 x + 12 x - 9$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 2 y + 12 y - 9$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 y + 12 y - 9 = x$ um.

$- 2 y + 12 y - 9 = x$

Schritt 3.2

Addiere $- 2 y$ und $12 y$ .

$10 y - 9 = x$

Schritt 3.3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 y = x + 9$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $10 y = x + 9$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = x + 9$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 2 x + 12 x - 9$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x - 9}{10} + \frac{9}{10}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x - 9 + 9}{10}$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x + 12 x - 9 + 9$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x + 0}{10}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $- 2 x + 12 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{- 2 x + 12 x}{10}$

Schritt 5.2.5

Addiere $- 2 x$ und $12 x$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{10 x}{10}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = \frac{10 x}{10}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 12 x - 9) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 2 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 2 \frac{x}{10} - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = 2 (- 1) (\frac{x}{10}) - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2 \cdot 5}) - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2 \cdot 5}) - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} - 2 (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} + 2 (- 1) (\frac{9}{10}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} + 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} + 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 1 \frac{x}{5} - 1 (\frac{9}{5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- 1 \frac{x}{5}$ als $- \frac{x}{5}$ um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - 1 (\frac{9}{5}) + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.4.2

Schreibe $- 1 (\frac{9}{5})$ als $- (\frac{9}{5})$ um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 12 (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 12 (\frac{x}{10}) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 2 (6) (\frac{x}{10}) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{x}{2 \cdot 5})) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{x}{2 \cdot 5})) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + 6 (\frac{x}{5}) + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.7

Kombiniere $6$ und $\frac{x}{5}$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 12 (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 2 (6) (\frac{9}{10}) - 9$

Schritt 5.3.3.8.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{9}{2 \cdot 5})) - 9$

Schritt 5.3.3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 2 \cdot (6 (\frac{9}{2 \cdot 5})) - 9$

Schritt 5.3.3.8.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + 6 (\frac{9}{5}) - 9$

Schritt 5.3.3.9

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{5}$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot 9}{5} - 9$

Schritt 5.3.3.10

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - \frac{x}{5} - \frac{9}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{54}{5} - 9$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{- x - 9 + 6 x + 54}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $- x$ und $6 x$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 x - 9 + 54}{5}$

Schritt 5.3.4.3

Addiere $- 9$ und $54$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 x + 45}{5}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 x + 45$ und $5$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x) + 45}{5}$

Schritt 5.3.4.4.2

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x) + 5 \cdot 9}{5}$

Schritt 5.3.4.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (9)$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x + 9)}{5}$

Schritt 5.3.4.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x + 9)}{5 (1)}$

Schritt 5.3.4.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{5 (x + 9)}{5 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + \frac{x + 9}{1}$

Schritt 5.3.4.4.4.4

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = - 9 + x + 9$

Schritt 5.3.4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 9 + x + 9$ .

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Schritt 5.3.4.5.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{9}{10}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 2 x + 12 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{9}{10}$