Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ als Gleichung.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt{y} + 3 = x$ um.

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.3

Um $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.3.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Schritt 5.2.5.4

Addiere $- 18$ und $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Es sei $u = \sqrt{x}$ . Ersetze $u$ für alle $\sqrt{x}$ .

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Schritt 5.2.6.1.1

Subtrahiere $12 u$ von $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Schritt 5.2.6.1.2

Addiere $4 u^{2}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Schritt 5.2.6.1.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Schritt 5.2.6.1.4

Addiere $4 u^{2}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Schritt 5.2.6.3

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 5.2.6.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 5.2.6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 5.2.6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 5.2.6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.6.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.4.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Schritt 5.3.4.1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Schritt 5.3.4.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Schritt 5.3.4.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Schritt 5.3.4.1.5

Schreibe $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{3}{2})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.4.1.6

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.4.1.7

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.4.1.8

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = \frac{x}{2}$ und $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 3}{2}$ an.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Schritt 5.3.4.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Schritt 5.3.4.6

Schreibe $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Schritt 5.3.4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Schritt 5.3.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Schritt 5.3.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$