Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ als Gleichung.

$y = 4 + \sqrt[3]{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 + \sqrt[3]{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 + \sqrt[3]{y} = x$ um.

$4 + \sqrt[3]{y} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 4)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = {(4 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (16 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.2.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${(4 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ als $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ um.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 ((4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 (4 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5.1.3

Multipliziere $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.3.1

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5.1.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5.1.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.5.2

Addiere $4 \sqrt[3]{x}$ und $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 8 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 \cdot 16 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Schritt 5.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \cdot 4 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ von $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $64 + 48 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 5.2.4.1.3

Addiere $- 192$ und $192$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $64 + 48 \sqrt[3]{x} + x$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 5.2.4.1.5

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $0$ und $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $96 \sqrt[3]{x}$ von $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 48 \sqrt[3]{x}$ und $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + x - 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 + x - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$