Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ als Gleichung.

$y = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 4 + 6 \sqrt{7 y + 4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$ um.

$- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt{7 y + 4} = x + 4$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(6 \sqrt{7 y + 4})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y + 4}$ als ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$6^{2} {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 {(7 y + 4)}^{1} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$36 (7 y + 4) = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$36 (7 y) + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $36$ .

$252 y + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.6.2

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$252 y + 144 = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$252 y + 144 = (x + 4) (x + 4)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$252 y + 144 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 8 x + 16$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$252 y = x^{2} + 8 x + 16 - 144$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $144$ von $16$ .

$252 y = x^{2} + 8 x - 128$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ durch $252$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ durch $252$ .

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $252$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $252$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{252} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $252$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 (63)} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 63} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 128}{252}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 128$ und $252$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 128$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 (- 32)}{252}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $252$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 32}{63}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}{63} - \frac{32}{63}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 \cdot - 4 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 12 \sqrt{7 x + 4} - 32}{63}$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $32$ von $- 8$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{7 x + 4}$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4})$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.1.2

Wende die Produktregel auf $2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{2^{2} {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $252$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 ({(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2})}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.6.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $252$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.3

Schreibe ${(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ als $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ um.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.4

Multipliziere $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.6.5.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.4

Multipliziere $3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

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Schritt 5.2.6.5.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 \sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7 x + 4}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7 x + 4}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{1 + 1}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.5

Schreibe ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ als $7 x + 4$ um.

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Schritt 5.2.6.5.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x + 4}$ als ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.5.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x) + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.1.8

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 36}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.2

Addiere $4$ und $36$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.5.3

Subtrahiere $6 \sqrt{7 x + 4}$ von $- 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.6

Faktorisiere $4$ aus $- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ heraus.

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Schritt 5.2.6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 40$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.6.6.2

Faktorisiere $4$ aus $12 \sqrt{7 x + 4}$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Schritt 5.2.6.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Schritt 5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 \cdot - 10 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Schritt 5.2.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.9.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ .

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Schritt 5.2.9.1.1

Subtrahiere $40$ von $40$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{0 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.9.1.2

Subtrahiere $12 \sqrt{7 x + 4}$ von $0$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Schritt 5.2.9.1.3

Addiere $- 12 \sqrt{7 x + 4}$ und $12 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x + 0}{63}$

Schritt 5.2.9.1.4

Addiere $63 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $63$ .

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Schritt 5.2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

Schritt 5.2.9.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $252$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 (36)}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 \cdot 36}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $63$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 (9)}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 \cdot 9}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{32}{63}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{63}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.3.2

Faktorisiere $7$ aus $63$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 (9)}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 \cdot 9}) + 4}$

Schritt 5.3.3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 4}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4}$

Schritt 5.3.3.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9}}$

Schritt 5.3.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 4 \cdot 9}{9}}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 36}{9}}$

Schritt 5.3.3.7.2

Addiere $- 32$ und $36$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.8.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Schritt 5.3.3.8.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{6^{2}}$ als ${(\frac{x}{6})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Schritt 5.3.3.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{9}}$

Schritt 5.3.3.8.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.3.8.5

Schreibe $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{2}{3})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.8.6

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$\frac{2 x}{9} = 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 5.3.3.8.7

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.8.8

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = \frac{x}{6}$ und $b = \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.9

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.13

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 4}{6}$ an.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.3.14

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}}$

Schritt 5.3.3.15

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.3.16

Schreibe $\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}$ als ${(\frac{x + 4}{6})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.17

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

Schritt 5.3.3.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

Schritt 5.3.3.18.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + x + 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 + x + 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$