Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 \log_{3} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ als Gleichung.

$y = 4 \log_{3} (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \log_{3} (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 \log_{3} (y) = x$ um.

$4 \log_{3} (y) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \log_{3} (y) = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \log_{3} (y) = x$ durch $4$ .

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\log_{3} (y)$ durch $1$ .

$\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$

Schritt 3.3

Schreibe $\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{\frac{x}{4}} = y$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $y = 3^{\frac{x}{4}}$ um.

$y = 3^{\frac{x}{4}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 \log_{3} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\log_{3} (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\log_{3} (x)}$

Schritt 5.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (3^{\frac{x}{4}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 \log_{3} (3^{\frac{x}{4}})$

Schritt 5.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{x}{4}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot \log_{3} (3))$

Schritt 5.3.4

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot 1)$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$