Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 - 7 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 - 7 x$ als Gleichung.

$y = 3 - 7 x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 - 7 y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 - 7 y = x$ um.

$3 - 7 y = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = x - 3$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = x - 3$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = x - 3$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 7} + \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{7} + \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 - 7 x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 - 7 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - 7 x) = - \frac{3 - 7 x}{7} + \frac{3}{7}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{- (3 - 7 x) + 3}{7}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 x) + 3}{7}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{- 3 - (- 7 x) + 3}{7}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{- 3 + 7 x + 3}{7}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + 7 x + 3$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 - 7 x) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 - 7 x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 - 7 (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 - 7 (- \frac{x}{7}) - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{7}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 - 7 \frac{- x}{7} - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + 7 (- 1) (\frac{- x}{7}) - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + 7 \cdot (- 1 \frac{- x}{7}) - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 - 1 (- x) - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + 1 x - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + x - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + x + 7 (- 1) (\frac{3}{7})$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + x + 7 \cdot (- 1 (\frac{3}{7}))$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + x - 1 \cdot 3$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = 3 + x - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{7} + \frac{3}{7}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 - 7 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{7} + \frac{3}{7}$