Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (\ln (x))$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (\ln (x))$ als Gleichung.

$y = \ln (\ln (x))$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (\ln (y))$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (\ln (y)) = x$ um.

$\ln (\ln (y)) = x$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\ln (y))} = e^{x}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (\ln (y)) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \ln (y)$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y) = e^{x}$ um.

$\ln (y) = e^{x}$

Schritt 3.4.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{e^{x}}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $\ln (y) = e^{x}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x}} = y$

Schritt 3.4.4

Schreibe die Gleichung als $y = e^{e^{x}}$ um.

$y = e^{e^{x}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (\ln (x))$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (\ln (x)))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{e^{\ln (\ln (x))}}$

Schritt 5.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (e^{e^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (\ln (e^{e^{x}}))$

Schritt 5.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $e^{x}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \ln (e))$

Schritt 5.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \cdot 1)$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{e^{x}}) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (\ln (x))$ .

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$