Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (3 x) - 2$ als Gleichung.

$y = \ln (3 x) - 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (3 y) - 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (3 y) - 2 = x$ um.

$\ln (3 y) - 2 = x$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (3 y) = x + 2$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (3 y) = x + 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 y = e^{x + 2}$ um.

$3 y = e^{x + 2}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = e^{x + 2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = e^{x + 2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (3 x) - 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

Schritt 5.2.3.1.2

Addiere $\ln (3 x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Schritt 5.3.3.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Schritt 5.3.3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$