Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (x - 2) + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ als Gleichung.

$y = \ln (x - 2) + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (y - 2) + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y - 2) + 1 = x$ um.

$\ln (y - 2) + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (y - 2) = x - 1$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x - 1}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (y - 2) = x - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x - 1} = y - 2$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $y - 2 = e^{x - 1}$ um.

$y - 2 = e^{x - 1}$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{x - 1} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{(\ln (x - 2) + 1) - 1} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{(\ln (x - 2) + 1) - 1} + 2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{\ln (x - 2) + 0} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\ln (x - 2)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Schritt 5.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (e^{x - 1} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln ((e^{x - 1} + 2) - 2) + 1$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln ((e^{x - 1} + 2) - 2) + 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln (e^{x - 1} + 0) + 1$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $e^{x - 1}$ und $0$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{x - 1} + 2) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Schritt 5.3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Schritt 5.3.4.3

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$