Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (x + 7)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (x + 7)$ als Gleichung.

$y = \ln (x + 7)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (y + 7)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y + 7) = x$ um.

$\ln (y + 7) = x$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y + 7)} = e^{x}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (y + 7) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y + 7$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y + 7 = e^{x}$ um.

$y + 7 = e^{x}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{x} - 7$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (x + 7)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (x + 7))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = e^{\ln (x + 7)} - 7$

Schritt 5.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = x + 7 - 7$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (e^{x} - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x} - 7) = \ln ((e^{x} - 7) + 7)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(e^{x} - 7) + 7$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (e^{x} - 7) = \ln (e^{x} + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$f (e^{x} - 7) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{x} - 7) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{x} - 7) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (e^{x} - 7) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$