Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 x - 12$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 x - 12$ als Gleichung.

$y = 6 x - 12$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 y - 12$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $6 y - 12 = x$ um.

$6 y - 12 = x$

Schritt 3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = x + 12$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x + 12$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x + 12$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x}{6} + \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x}{6} + \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $12$ durch $6$ .

$y = \frac{x}{6} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 x - 12$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 x - 12)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{6 x - 12}{6} + 2$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 x - 12$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{6 (x) - 12}{6} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $6$ aus $- 12$ heraus.

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{6 (x) + 6 \cdot - 2}{6} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (x) + 6 (- 2)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{6 (x - 2)}{6} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{6 (x - 2)}{6 (1)} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{6 (x - 2)}{6 \cdot 1} + 2$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x - 12) = \frac{x - 2}{1} + 2$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (6 x - 12) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (6 x - 12) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x - 12) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{6} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{6} + 2) = 6 (\frac{x}{6} + 2) - 12$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{6} + 2) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 \cdot 2 - 12$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{6} + 2) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 \cdot 2 - 12$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{6} + 2) = x + 6 \cdot 2 - 12$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (\frac{x}{6} + 2) = x + 12 - 12$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 12 - 12$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$f (\frac{x}{6} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{6} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 x - 12$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} + 2$