Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ als Gleichung.

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ um.

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ durch $500$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ durch $500$ .

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere ${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ durch $1$ .

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\frac{x}{500}$ als ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ um.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x$ heraus.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $10^{2}$ aus $500$ heraus.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

Schritt 3.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ um.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{x}{5}}$ als $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ um.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 3.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.5.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 3.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 3.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 3.4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

Schritt 3.4.7

Multipliziere $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Schritt 3.4.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

Schritt 3.4.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ um.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Schritt 3.5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Vereinfache $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{50}$ in den Zähler.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4.1.1.1.2

Faktorisiere $50$ aus $- 50$ heraus.

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.5.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Vereinfache $- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.2.1

Faktorisiere $50$ aus $- 50$ heraus.

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 50$ mit $- 1$ .

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

Schritt 3.5.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Schritt 3.5.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Schritt 3.5.7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.8.1.1

Vereinfache $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

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Schritt 3.5.8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 3.5.8.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{50}$ in den Zähler.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8.1.1.1.2

Faktorisiere $50$ aus $- 50$ heraus.

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.5.8.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Schritt 3.5.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.8.2.1

Vereinfache $- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

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Schritt 3.5.8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 3.5.8.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ in den Zähler.

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.2.2

Faktorisiere $50$ aus $- 50$ heraus.

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.8.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{5 x}$ mit $1$ .

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Schritt 3.5.8.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 50$ mit $- 1$ .

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Schritt 3.5.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ und $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- \sqrt{5 x} + 50$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x \geq 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x \geq 0$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x \geq 0$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ der Wertebereich von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ der Definitionsbereich von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ die inverse Funktion von $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Schritt 6