Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \frac{3}{x} + 1$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \frac{3}{x} + 1$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{x} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{y} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{y} + 1 = x$ um.

$\frac{3}{y} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{y} = x - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y} = x - 1$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y} = x - 1$ mit $y$ .

$\frac{3}{y} y = x y - y$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y} y = x y - y$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = x y - y$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - y = 3$ um.

$x y - y = 3$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - y = 3$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y x + y \cdot - 1 = 3$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 3$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 3$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 3$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $g^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $g (x) = \frac{3}{x} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = \frac{3}{(\frac{3}{x} + 1) - 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 0}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\frac{3}{x}$ und $0$ .

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = \frac{3}{\frac{3}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$g^{- 1} (\frac{3}{x} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (\frac{3}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (\frac{3}{x - 1}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 1}} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$g (\frac{3}{x - 1}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{3}{x - 1}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (\frac{3}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$g (\frac{3}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$g (\frac{3}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = \frac{3}{x} + 1$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{3}{x - 1}$