Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \sqrt[3]{8 x}$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{8 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{8 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{8 y} = x$ um.

$\sqrt[3]{8 y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{8 y}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8 y}$ als ${(8 y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 y)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 y = x^{3}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{3}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{3}$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $g^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$ die Umkehrfunktion von $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{(\sqrt[3]{8 x})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{\sqrt[3]{2^{3} x}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.3.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{x}$ an.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.3.5.5

Vereinfache.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$g^{- 1} (\sqrt[3]{8 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (\frac{x^{3}}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{8 (\frac{x^{3}}{8})}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{3}}{8}$ .

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{8}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 x^{3}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{8}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$g (\frac{x^{3}}{8}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$g (\frac{x^{3}}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = \sqrt[3]{8 x}$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8}$