Elementarmathematik Beispiele

$h (x) = \log_{7} (x)$

Schritt 1

Schreibe $h (x) = \log_{7} (x)$ als Gleichung.

$y = \log_{7} (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{7} (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{7} (y) = x$ um.

$\log_{7} (y) = x$

Schritt 3.2

Schreibe $\log_{7} (y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$7^{x} = y$

Schritt 3.3

Schreibe die Gleichung als $y = 7^{x}$ um.

$y = 7^{x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $h^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (x) = 7^{x}$ die Umkehrfunktion von $h (x) = \log_{7} (x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $h^{- 1} (h (x)) = x$ ist und $h (h^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $h^{- 1} (h (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h^{- 1} (h (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $h^{- 1} (\log_{7} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $h$ in $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (\log_{7} (x)) = 7^{\log_{7} (x)}$

Schritt 5.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$h^{- 1} (\log_{7} (x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $h (h^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h (h^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $h (7^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $h^{- 1}$ in $h$ .

$h (7^{x}) = \log_{7} (7^{x})$

Schritt 5.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$h (7^{x}) = x \log_{7} (7)$

Schritt 5.3.4

Die logarithmische Basis $7$ von $7$ ist $1$ .

$h (7^{x}) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$h (7^{x}) = x$

Schritt 5.4

Da $h^{- 1} (h (x)) = x$ und $h (h^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $h^{- 1} (x) = 7^{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $h (x) = \log_{7} (x)$ .

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$