Elementarmathematik Beispiele

$A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Schritt 1

Schreibe $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ als Gleichung.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$ um.

$y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 3$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{3}} = 3 + x$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 + x)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(3 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(3 + x)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(3 + x)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = 27 + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$y = 27 + 3^{1} \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 27 + 3^{1 + 2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = 27 + 3^{3} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = 27 + 27 x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = 27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache $27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 3.5.1

Bewege $27$ .

$y = 27 x + 9 x^{2} + x^{3} + 27$

Schritt 3.5.2

Bewege $27 x$ .

$y = 9 x^{2} + x^{3} + 27 x + 27$

Schritt 3.5.3

Stelle $9 x^{2}$ und $x^{3}$ um.

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Schritt 4

Replace $y$ with $A^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Schritt 5

Überprüfe, ob $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ die Umkehrfunktion von $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $A^{- 1} (A (x)) = x$ ist und $A (A^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $A^{- 1} (A (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$A^{- 1} (A (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $A$ in $A^{- 1}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereinfache.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.6

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.2.7

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ um.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 ((x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.5.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.5.2

Subtrahiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 6 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Schritt 5.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 27$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 9 x^{\frac{2}{3}}$ und $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 0 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27$ und $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 27$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27$

Schritt 5.2.4.1.5

Addiere $- 27$ und $27$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $54 x^{\frac{1}{3}}$ von $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 27 x^{\frac{1}{3}}$ und $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $A (A^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$A (A^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ durch Einsetzen des Wertes von $A^{- 1}$ in $A$ .

$A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) = {(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}^{\frac{1}{3}} - 3$

Schritt 5.4

Da $A^{- 1} (A (x)) = x$ und $A (A^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$