Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ als Gleichung.

$y = {(x - 5)}^{3} + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 5)}^{3} + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 5)}^{3} + 6 = x$ um.

${(y - 5)}^{3} + 6 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 5)}^{3} = x - 6$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 5 = \sqrt[3]{x - 6}$

Schritt 3.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x - 6} + 5$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{({(x - 5)}^{3} + 6) - 6} + 5$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{({(x - 5)}^{3} + 6) - 6} + 5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3} + 0} + 5$

Schritt 5.2.3.2

Addiere ${(x - 5)}^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 5)}^{3} + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{x - 6} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {((\sqrt[3]{x - 6} + 5) - 5)}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${((\sqrt[3]{x - 6} + 5) - 5)}^{3} + 6$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(\sqrt[3]{x - 6} + 0)}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{x - 6}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ als $x - 6$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 6}$ als ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = (x - 6) + 6$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 6} + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x - 5)}^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 6} + 5$