Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5}{2} x + 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{5}{2} x + 3$ als Gleichung.

$y = \frac{5}{2} x + 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{5}{2} y + 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5}{2} y + 3 = x$ um.

$\frac{5}{2} y + 3 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $y$ .

$\frac{5 y}{2} + 3 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 y}{2} = x - 3$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2} = \frac{2}{5} (x - 3)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2} = \frac{2}{5} (x - 3)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 y) = \frac{2}{5} (x - 3)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (y)) = \frac{2}{5} (x - 3)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 y) = \frac{2}{5} (x - 3)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{5} (x - 3)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{2}{5} (x - 3)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 3$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 3$

Schritt 3.5.2.1.3

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot - 3$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.5.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{5}{2} x + 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5}{2} x + 3)}{5} - \frac{6}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5}{2} x + 3) - 6}{5}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5 x}{2} + 3) - 6}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 \cdot 3 - 6}{5}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 \cdot 3 - 6}{5}$

Schritt 5.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x + 2 \cdot 3 - 6}{5}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x + 6 - 6}{5}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x + 6 - 6$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{5} + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{5} + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{5}$ in den Zähler.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 6}{5} + 3$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 6}{5} + 3$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 6 + 3$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)) + 3$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3) + 3$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x - 3 + 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{5}{2} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$