Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4 y - 2}{3 y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 y - 2}{3 y + 1} = x$ um.

$\frac{4 y - 2}{3 y + 1} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 y - 2$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{2 (2 y) - 2}{3 y + 1} = x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (2 y) + 2 (- 1)}{3 y + 1} = x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 y) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y + 1, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$3 y + 1, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y + 1$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$ mit $3 y + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} = x$ mit $3 y + 1$ .

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} (3 y + 1) = x (3 y + 1)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 1$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y - 1)}{3 y + 1} (3 y + 1) = x (3 y + 1)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 y - 1) = x (3 y + 1)$

Schritt 3.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 1 = x (3 y + 1)$

Schritt 3.4.2.3

Multipliziere.

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Schritt 3.4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 1 = x (3 y + 1)$

Schritt 3.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 y - 2 = x (3 y + 1)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y - 2 = x (3 y) + x \cdot 1$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y - 2 = 3 x y + x \cdot 1$

Schritt 3.4.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 y - 2 = 3 x y + x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $3 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - 2 - 3 x y = x$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - 3 x y = x + 2$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $4 y - 3 x y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$y \cdot 4 - 3 x y = x + 2$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x y$ heraus.

$y \cdot 4 + y (- 3 x) = x + 2$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 4 + y (- 3 x)$ heraus.

$y (4 - 3 x) = x + 2$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (4 - 3 x) = x + 2$ durch $4 - 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (4 - 3 x) = x + 2$ durch $4 - 3 x$ .

$\frac{y (4 - 3 x)}{4 - 3 x} = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - 3 x$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (4 - 3 x)}{4 - 3 x} = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{4 - 3 x} + \frac{2}{4 - 3 x}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 x + 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$ mit $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{3 x + 1}{3 x + 1} \cdot \frac{\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2}{4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1}}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{4 x - 2}{3 x + 1} + 2)}{(3 x + 1) (4 - 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 5.2.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x) - 2}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{4 x - 2}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 5.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x) - 2}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + (3 x + 1) \cdot 2$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 2}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) (2)}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.1.3

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) (2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + 2)}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1} + \frac{2 (3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.4

Schreibe $\frac{2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)}{3 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x - 1) + 2 (3 x + 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (2 x - 1 + 3 x + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.4.2

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (5 x - 1 + 1)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.4.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 (5 x + 0)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.4.4

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{2 \cdot (5 x)}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.6.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \cdot 4 + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})$ heraus.

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Schritt 5.2.7.1.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \cdot 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4) + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.1.2

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) (4) + (3 x + 1) (- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 - 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.2

Multipliziere $- 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

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Schritt 5.2.7.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 + \frac{- 3 (2 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 + \frac{- 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (4 - \frac{(6) (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{4 (3 x + 1)}{3 x + 1} - \frac{6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6

Schreibe $\frac{4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (3 x + 1) - 6 (2 x - 1)$ heraus.

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Schritt 5.2.7.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (3 x + 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1)) - 6 (2 x - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 (2 x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1)) + 2 (- 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 (3 x + 1)) + 2 (- 3 (2 x - 1))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x + 1) - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 \cdot 1 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 3 (2 x - 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 6 x - 3 \cdot - 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (6 x + 2 - 6 x + 3)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.8

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (0 + 2 + 3)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.9

Addiere $0$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 (2 + 3)}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.6.10

Addiere $2$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{2 \cdot 5}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.7.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{10}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{(3 x + 1) (\frac{10 x}{3 x + 1})}{(3 x + 1) (\frac{10}{3 x + 1})}$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{\frac{10 x}{3 x + 1}}{\frac{10}{3 x + 1}}$

Schritt 5.2.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 x}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 (x)}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{10 x}{3 x + 1} \cdot \frac{3 x + 1}{10}$

Schritt 5.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 5.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = \frac{x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$

Schritt 5.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 2}{3 x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x + 2}{4 - 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) - 2}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \frac{x + 2}{4 - 3 x} - 2$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ heraus.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x})) - 2}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x})) + 2 (- 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (2 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) - 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} - 1)}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} - 1 \cdot \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2)}{4 - 3 x} + \frac{- (4 - 3 x)}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{4 - 3 x})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.6

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe $\frac{2 (x + 2) - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - (4 - 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 1 \cdot 4 - (- 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 4 - (- 3 x)}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 4 + 3 x}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.6

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 4 - 4}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.7

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 0}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.3.7.8

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{3 (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) + 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x + 2}{4 - 3 x}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2)}{4 - 3 x} + 1}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2)}{4 - 3 x} + \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{3 (x + 2) + 4 - 3 x}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 (x + 2) + 4}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{- 3 x + 3 (x + 2) + 4}{- 3 x + 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 x + 3 \cdot 2 + 4}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{- 3 x + 3 x + 6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{0 + 6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Addiere $0$ und $6$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{6 + 4}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Addiere $6$ und $4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{- 3 x + 4})}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x}{- 3 x + 4}$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{- 3 x + 4}}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{10 x}{- 3 x + 4}}{\frac{10}{- 3 x + 4}}$

Schritt 5.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 x}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 (x)}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{10 x}{- 3 x + 4} \cdot \frac{- 3 x + 4}{10}$

Schritt 5.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x}{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x + 4)$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $\frac{x}{- 3 x + 4}$ mit $- 3 x + 4$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 4)}{- 3 x + 4}$

Schritt 5.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x + 4$ .

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Schritt 5.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = \frac{x (- 3 x + 4)}{- 3 x + 4}$

Schritt 5.3.10.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{x + 2}{4 - 3 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{4 - 3 x}$